Введение: Многие математические модели механики сплошной среды сформулированы в виде линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Симметричный анализ этих моделей является одним из наиболее эффективных способов получения количественных и качественных характеристик описываемых ими физических процессов. Актуальность исследования модели Вестервельта обусловлена использованием этой модели для расчета параметрических антенн сонаров и для расчета ультразвуковых полей в медицине. Материалы и методы исследований: Методами исследований являются: групповой (симметрийный) анализ дифференциальных уравнений и общие методы математической физики. Результаты исследований и их обсуждение: Исследуется важная для приложений трехмерная модель Вестервельта нелинейной гидроакустики при наличии диссипации. Установлено, что среди инвариантных подмоделей ранга 1 эта модель имеет только три типа существенно различных (не связанных точечными преобразованиями) автомодельных волн. К ним относятся: автомодельная волна, распространяющаяся вдоль одной из осей координат, плоская автомодельная круговая волна и автомодельная сферически-симметричная волна. Получены интегро-дифференциальные уравнения, описывающие эти автомодельные волны. При некоторых условиях установлены существование и единственность таких автомодельных волн. Выводы: В нелинейной гидроакустике модель Вестервельта используется для исследования ультразвуковых полей, генерируемых мощными излучателями. Для трехмерной модели Вестервельта при наличии диссипации установлено, что среди инвариантных подмоделей ранга 1 эта модель имеет только три типа существенно различных (не связанных точечными преобразованиями) автомодельных волн. Исследованы эти волны. Наличие произвольных постоянных в полученных интегро-дифференциальных уравнениях, описывающих эти автомодельные волны открывает новые возможности для изучения других (отличных от исследованных в статье) имеющих физический смысл краевых задач. Практическая значимость этого исследования обусловлена использованием модели Вестервельта для расчета параметрических антенн сонаров и для расчета ультразвуковых полей в медицине.
Introduction: Many mathematical models of continuum mechanics are formulated as linear and quasilinear differential equations. Symmetric analysis of these models is one of the most effective ways to obtain the quantitative and qualitative characteristics of the physical processes described by them. The relevance of the study of the Westervelt model is due to the use of this model for calculating parametric sonar antennas and for calculating ultrasonic fields in medicine Materials and research methods: Research methods are: group (symmetry) analysis of differential equations and general methods of mathematical physics. Research results and their discussion: The three-dimensional Westervelt model of nonlinear hydroacoustics, which is important for applications, is investigated in the presence of dissipation. It has been established that among the invariant submodels of rank 1, this model has only three types of essentially different (not connected by point transformations) self-similar waves. These include the self-similar wave propagating along one of the axes of coordinates, the flat self-similar circular wave and the self-similar spherically symmetric wave. Integro-differential equations describing these self-similar waves are obtained. Under some conditions, the existence and uniqueness of such self-similar waves are established. Conclusions: In nonlinear hydroacoustics, the Westervelt model is used to study ultrasonic fields generated by high-power radiators. For the Westervelt three-dimensional model in the presence of dissipation, it was found that among the invariant submodels of rank 1 this model has only three types of essentially different (not connected by point transformations) self-similar waves. These waves are investigated. The presence of arbitrary constants in the obtained integro-differential equations describing these self-similar waves opens up new possibilities for studying other boundary value problems (other than those studied in the article) that have a physical meaning. The practical significance of this study is due to the use of the Westervelt model for calculating parametric sonar antennas and for calculating ultrasonic ields in medicine.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.