Введение: исследуются методы представления функций, заданных приближенно, их сингулярными интегралами применительно к задачам аппроксимации и численных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений. В подобной постановке задача относится к классу некорректно поставленных задач и требует для своего решения построения соответствующих регуляризирующих методов и алгоритмов. Материалы и методы исследований: рассматриваются вопросы аппроксимации исследуемой функции f(x) обобщенными полиномами и исследуются некоторые важные свойства данного вычислительного процесса. Исследуется вопрос о том, в какой мере члены аппроксимирующих последовательностей, представленных обобщенными полиномами, «наследуют» аналитические свойства аппроксимируемых функций. Исследуется характер и определяются условия сходимости аппроксимирующих последовательностей к исходной функции. Приводятся примеры применения аппарата аппроксимации функции обобщенными полиномами, выводятся расчетные формулы вычислительного алгоритма. Результаты исследований и их обсуждение: результаты теоретических исследований, полученных в рамках настоящей работы, имеют самостоятельное значение в области вычислительной математики. Практическая значимость результатов состоит в том, что предложенные методы и подходы могут найти применение в прикладных задачах теории приближения функций, задачах прикладного анализа и краевых задачах математической физики, использующих приближенно заданные исходные данные, полученные в ходе физических экспериментов или эмпирические функции.
Introduction: the methods of representation of functions given approximately by their singular integrals in relation to approximation problems and numerical methods for solving boundary value problems for differential equations are Investigated. In such a statement, the problem belongs to the class of ill-posed problems and requires the construction of appropriate regularizing methods and algorithms for its solution. Materials and methods of research: the questions of approximation of the function under study by generalized polynomials are Considered and some important properties of this computational process are investigated. The question of the extent to which the members of the approximating sequences represented by generalized polynomials "inherit" the analytical properties of the approximated functions is investigated. The nature and conditions of convergence of approximating sequences to the original function are investigated. Examples of application of the function approximation apparatus by generalized polynomials are given, calculation formulas of the computational algorithm are derived. Research results and their discussion: the results of theoretical studies obtained in the framework of this work are of independent importance in the field of computational mathematics. The practical significance of the results is that the proposed methods and approaches can be used in applied problems of the theory of approximation of functions, problems of applied analysis and boundary value problems of mathematical physics, using approximately given initial data obtained in the course of physical experiments or empirical functions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.