Статья посвящена актуальной проблеме ускорения сходимости многочленных и дробно-рациональных приближений функций. В теории приближения функций часто используется идея уменьшения интервала изменения аргумента как метода ускорения сходимости степенных и дробно-рациональных приближений, аппроксимирующих данную функцию. В статье, используя эту идею, сначала для данной функции строится ветвящаяся цепная дробь, ветвями которой являются либо функциональные ряды, либо функциональные цепные дроби. В этом случае ветвящаяся цепная дробь, представляющая собой данную функцию, является фракталом и одновременно сжимает интервал изменения аргумента в 2* (к = 1, 2, ...) раз, где 2* - число ветвей ветвящейся цепной дроби. То есть вычисление данной функции в точке x сводится к вычислениям в точке x/2k, что естественно и влечет ускорение сходимости степенных и дробно-рациональных приближений. Для построения новых дробно-рациональных приближений ветвящаяся цепная дробь (фрактал) заменяется предфракталом - ветвящейся цепной дробью с конечным числом звеньев. Здесь каждое звено заменяется многочленом либо конечной цепной дробью. В результате можно получить сколь угодно много рациональных приближений.
The Article is devoted to the problem of accelerating the convergence of polynomial and rational approximations of functions. In the theory of approximation of functions often used the idea of reducing the interval change in the argument as a method to accelerate the convergence of exponential and rational approximations, approximating this function. In this article, using this idea, a first for this function builds a branching continued fraction, whose branches are either functional series, functional or chain fractions. In this case, the branching continued fraction representing this function is a fractal and at the same time compresses the range of variation of the argument in 2* (k = 1, 2, ...) time, where 2* is the number of branches of the branched chain fraction. That is, the computation of this function at the point x is to compute x/2k, which is natural and leads to acceleration of convergence of exponential and rational approximations. To build a new rational approximations of branching continued fraction (fractal) is replaced by prefractals - chain-branching fraction with a finite number of links. Here each link is replaced by the polynomial finite chain fraction. In the result, we can obtain arbitrarily many rational approximations.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.