Рассматриваются эмпирические функции, заданные приближенно, например, на основе некоторых измерений наблюдаемого процесса или явления, полученных в эксперименте. Подобные функции часто встречаются в задачах математической физики и соответствующих численных моделях, использующих эти данные. При этом актуальной является задача восстановления или конструирования исходной функции по приближенным данным, которая решается в рамках конструктивной теории функций и теории приближения функций. В работе реализуется подход, согласно которому исследуемые функции представляются так называемыми сингулярными интегралами. В ряде прикладных задач искомым функциям в качестве исходного предположения предписывается необходимость представления в виде интеграла Стилтьеса. Подобные ситуации могут иметь место в теории потенциалов и тех задачах теоретической физики, которые используют интегральные операторы потенциального типа. Подобный подход заметно расширяет содержательную сторону аппарата приближения функций, придавая ему большую эффективность и наглядность в тех задачах, когда приходится «конструировать» модель исследуемой функциональной зависимости по приближенным данным. При этом, те вычислительные схемы, которые связаны с практической реализацией излагаемого метода в приложениях, в ряде случаев могут быть заметно проще и эффективнее тех алгоритмов, которые требуются для реализации интегральных представлений функций на основе сингулярных интегралов. В настоящей работе исследуемая функция представляется в виде интеграла Римана-Стилтьеса, на основе этого представления формулируется соответствующая оптимизационная задача и определяется ее решение. Рассматриваются примеры интегралов представления исследуемой функции и соответствующие схемы вычислений. Исследуются свойства получаемых приближенных решений и их связь со свойствами исходных функций. Излагается техника обобщенного дифференцирования интегралов представления функций, рассматриваются вопросы регуляризации сходимости интегральных операторов обобщенного дифференцирования. Приводится пример конструирования интегралов Стилтьеса на основе заданного множества параметризованных функций, формулируются и доказываются две леммы, определяющих выбор параметров соответствующей вычислительной модели.
Discusses empirical functions that are specified approximately, for example, based on some measurements of the observed process or phenomenon, obtained in the experiment. Such functions are often encountered in problems of mathematical physics and related numerical models that use these data. In this case the current task is the restoration or construction of the original function by an approximate data, which is solved in the constructive theory of functions and theory of approximations of functions. The work implements the approach according to which the studied functions are the so-called singular integrals. In a number of application tasks desired functions as the assumptions it prescribes a representation in the form of a Stieltjes integral. A similar situation can take place in the theory of potentials and the theoretical physics problems that use integral operators of potential type. This approach significantly expands the content side of the apparatus of approximation of functions, giving it greater efficiency and clarity in those tasks when you have to "construct" a model study of the functional dependence on approximate data. In this case, the processing schemes that are associated with the practical implementation of the method set out in applications that in some cases can be much simpler and more efficient algorithms that are required for the implementation of integral representations of functions based on singular integrals. In the present work, the investigated function is in the form of the integral, Riemann-Stieltjes, on this view, formulate the corresponding optimization problem and defines its solution. Consider examples of integrals of performance of the studied functions and the corresponding computational scheme. We investigate the properties of the resulting approximate solutions and their relationship to the properties of the original functions. Outlines a technique of the generalized differentiation of integrals representations of functions, the issues of regularization convergence of integral operators of generalized differentiation. An example of the construction of Stieltjes integrals based on a given set of parameterized functions are formulated and proved two lemmas that determine the choice of appropriate parameters in the computational model.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.