Точные решения для каждой математической модели имеют особое значение. Они позволяют оценить, степень адекватности математической модели реальным физическим процессам, после проведения экспериментов, соответствующие этим решениям, а также оценить возникающие отклонения. Точные решения можно использовать для описания некоторых физических процессов. Точные решения являются хорошими тестами для проверки приближенных численных решений. В настоящей статье выполнен групповой анализ однопараметрического семейства уравнений, описывающих в рамках нелинейной одномерной модели мелкой воды распространение поверхностных волн над прямолинейным дном. Параметром этого семейства является угловой коэффициент наклона дна. В результате специального нелокального преобразования годографа, ассоциированного с групповым свойством исходной нелинейной системы, эта система сведена к линейной системе. Используя групповые свойства этих систем, получены формулы производства («размножения») решений нелинейной системы. С помощью инвариантных и частично инвариантных решений линейной системы и найденных формул производства решений получено бесконечное множество невырожденных решений нелинейной системы. Найдены все вырожденные решения этой системы. Полученные решения могут быть использованы при исследовании наката волн на берег, а также при исследовании распространения жидкости в каналах.
Exact solutions for each mathematical model are important. They allow us to assess, the degree of the adequacy of the mathematical model of real physical processes, after carrying out experiments appropriate to these solutions, and an evaluation of the arising deviations. Exact solutions can be used to describe of some physical processes. Exact solutions are good tests to check the approximate numerical solutions. In this paper we performed a group analysis of the one-parameter family of the equations, describing within the framework of the nonlinear one-dimensional shallow water model, the propagation of surface waves above a straight bottom. A parameter of this family is an angular coefficient of inclination of the bottom. As a result of a special nonlocal hodograph transformation, associated with the group property of the original non-linear system, this system is reduced to a linear system. Using the group properties of these systems, we obtained the formulas of the production ( "reproduction") of the solutions of nonlinear system. With a help of the invariant and partially invariant solutions of the linear system and found formulas of the production of the solutions, we obtained an infinite set of non-singular solutions of nonlinear system. We found all degenerate solutions of this system. These solutions can be used in the study of waves rolling on shore, and also in the study of the spread of liquid in the channels.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.