В работе излагается метод построения приближенного решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных с исходными данными, полученными в эксперименте (эмпирическими функциями). В подобной постановке задача относится к классу некорректных математических задач и часто встречается, например, в математических моделях физических явлений, использующих результаты измерений натурных экспериментов. Для получения приближенного решения такой задачи требуется построение соответствующих регуляризирующих алгоритмов. В данной статье разрабатывается и обосновывается метод интегральных представлений исследуемых функций их сингулярными интегралами, который излагается на примере решения краевой задачи для уравнения в частных производных, в частности, для уравнения Пуассона. Это позволяет построить и поставить в соответствие исходному дифференциальному уравнению в частных производных эквивалентное ему интегральное уравнение Фредгольма первого рода и найти его численное решение, то есть решение некорректной задачи. При этом используется аппарат приближения функций и их производных соответствующими сингулярными интегралами, а также метод регуляризации сходимости последовательности приближенных решений, который реализуется так называемыми обобщенными обратными операторами. Построенная в итоге вычислительная модель позволяет получать устойчивые решения некорректной задачи.
In this paper we describe a method of constructing approximate solutions to boundary value problems for differential equations in partial derivatives with the original data obtained in the experiment (empirical functions). In such formulation, the problem belongs to the class of incorrect mathematical problems and is often found, for example, in mathematical models of physical phenomena using measurement results of the field experiments. To obtain an approximate solution of this problem requires building the corresponding regularizing algorithms. In the present work is developed and substantiated the method of integral representations studied their functions, singular integrals, which is presented on the example of solving the boundary value problem for partial differential equations, in particular, for the Poisson equation. This allows you to build and put in corresponding to the original differential equations equivalent integral equation of Fredholm of the first kind and find its numerical solution, i.e. the solution of ill-posed problems. This uses a machine approximation of functions and their derivatives corresponding singular integrals and the method of regularization the convergence of the sequence of approximate solutions which is implemented by the so-called generalized inverse operators. Built in the end, a computational model allows to obtain a stable solution of incorrect tasks.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.