Рассматриваются эмпирические функции, заданные приближенно, например, на основе некоторых измерений наблюдаемого процесса или явления, полученных в эксперименте. Подобные функции считаются суммируемыми в определенной области наблюдений, но не дифференцируемыми в обычном смысле. Затруднения, связанные с применением обычных производных для анализа подобных функциональных зависимостей, требуют разработки таких методов функционального анализа, которые бы оперировали так называемыми обобщенными производными (тоже операторами обобщенного дифференцирования). Соответствующий аппарат был предложен авторами ранее применительно к решению дифференциальных уравнений в случае их некорректности и основывался на представлении исследуемых функций их сингулярными интегралами. В пределах настоящей работы изложенный выше подход распространяется на случай, когда интегралы в исходных представлениях функций имеют форму интеграла Стилтьеса (тоже Лебега - Стилтьеса). В ряде прикладных задач искомым функциям в качестве исходного предположения предписывается необходимость представления в виде интеграла Стилтьеса. Подобные ситуации могут иметь место в теории потенциалов и тех задачах теоретической физики, которые используют интегральные операторы потенциального типа. Подобный подход заметно расширяет содержательную сторону аппарата приближения функций, придавая ему большую эффективность и наглядность в тех задачах, когда приходится «конструировать» модель исследуемой функциональной зависимости по приближенным данным (тоже в условиях априорной неопределенности). При этом, те вычислительные схемы, которые связаны с практической реализацией излагаемого метода в приложениях, в ряде случаев могут быть заметно проще и эффективнее тех алгоритмов, которые требуются для реализации интегральных представлений функций на основе сингулярных интегралов. В работе выполняется построение и обоснование вычислительного метода, приводится пример, иллюстрирующий возможные приложения представленной теории представления эмпирических функций.
Iscusses empirical functions that were defined when-blajenno, for example, based on some measurements of the observed process or phenomena obtained in the experiment. Such functions are considered to be summable in a certain area of observation, but not differencethe get adequate in the usual sense. Difficulties associated with the use of conventional derivatives for the analysis of such functional dependencies require the development of such methods of functional analysis which would operirovat-whether the so-called generalized derivatives (also operators of generalized differentiation). The corresponding apparatus was proposed by the authors earlier is applied to solve differential equations in case of discrepancy and based on the performance of the studied functions by singular integrals. Within the present work from the suggested above approach is extended to the case when the integrals in IP-initial representations of functions have the form of the Stieltjes integral (Lebesgue - Stieltjes). In a number of application tasks desired functions as the initial assumptions required the need to present in the form of the Stieltjes integral. A similar situation can occur in the theory of potentials and the theoretical physics problems that use inte-integral operators of potential type. This approach significantly extended the content of the unit of approximation of functions, giving it greater efficiency and clarity in those tasks when you have to «construct» the model of functional dependence according to rough data (also in conditions of a priori uncertainty). Thus, the computational schemes that are associated with practical carrying out-she described the method in applications in some cases can be much simpler and more eficient algorithms that are required for the implementation of integral representations of functions based on singular integrals. The work performed in the construction and justiication of the computational method, an example illustrating possible applications of the presented Noi the theory of representation of empirical functions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.