ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ОПЕРАТОРОМ РАССЕЯНИЯ ДИРАКА

Введение: проблема интегрируемости нелинейных уравнений в частных производных даже для второго порядка не всегда является очевидным фактом, так как нахождение общего решения возможно только в редких случаях. Доказательство интегрируемости можно обосновать разными способами: с помощью получения большого числа частных решений, сведение к какой-нибудь точно решаемой редукции, а так же построение бесконечного числа первых интегралов. Материалы и методы исследований: использованы методы теории солитонов для уравнений обладающих парой Лакса. Для построения законов сохранения используется уравнение изоспектральной деформации с самосопряженным дифференциальным оператором Дирака первого и второго рода. При условии, что функции, входящие в коэффициенты, имеют быстро убывающий характер решение представлено в виде ряда, разложенного по отрицательным степеням спектрального параметра. Исследованы уравнения на собственные значения с операторами Дирака первого и второго рода. Найдено счетное число первых интегралов. Приведены примеры нелинейных уравнений в частных производных, полученных с помощью операторного уравнения нулевой кривизны, у которых оператор рассеяния совпадает с оператором Дирака. Доказано, что такие уравнения обладают счетным числом первых интегралов. Результаты исследования: Обсуждение и заключения: автором сделан вывод, что среди полученных законов сохранения присутствует Гамильтониан, все интегралы движения находятся в инволюции относительно скобок Пуассона. Это говорит о том, что нелинейные уравнения в частных производных являются гамильтоновыми, что приводит к их полной интегрируемости.

оператор Дирака, уравнение изоспектральной деформации, нелинейные уравнения в частных производных, интегралы движения, уравнение Гамильтона, скобки Пуассона, первые интегралы, законы сохранения, Dirac operator, equation of isospectral deformation, nonlinear partial differential equations, integrals of motion, Hamilton's equation, Poisson brackets, irst integrals, conservation laws

1. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Резольвенты и гамильтоновы системы // Функц. Анализ и его прилож. 11, № 2, 1977. С. 11-27.

2. Гриневич П.Г. Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шредингера с убывающим на бесконечности потенциалом // Успехи мат. Наук. Т. 55, вып. 6 (336). 2000.

3. Лакс П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны. // Математика, 13: 5. М.: Мир, 1969. С. 128150.

4. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике / пер. с англ. И.Р. Габитова и др.; под ред. А.В. Михайлова. М.: Мир, 1989.323 с.

5. Лэм Дж. Введение в теорию солитонов / под ред. В.Е. Захарова. М.: Мир, 1983. 294 с.

6. Редькина Т.В.Нелинейные уравнения, интегрируемые методами солитонной математики. Пары Лакса с самосопряженным оператором Дирака и с несамосопряженными операторами рассеяния. / LAP LAMBERT Academic Publishing. AV Akademikerverlag GmbH & Co. KG. Deutschland. 2013. 153 P.

7. Новикова О.В. Исследование нелинейного комплексного дифференциального уравнения в частных производных, обладающего парой Лакса: дис.. кандидата физ.-мат. наук. Воронеж, 2015.