НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ, ОБЛАДАЮЩЕЕ ОПЕРАТОРОМ РАССЕЯНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Введение: большинство дифференциальных уравнений, связанных с солитонной математикой, получены с помощью операторного уравнения Лакса или уравнения нулевой кривизны, которые являются условием совместности пары линейных дифференциальных систем. Глубоко и всесторонне изучен случай, когда для получения таких уравнений использовались системы второго порядка. Повышение порядка систем ведет к сильно переопределенным условиям. В работе изучается возможность использовать линейные системы третьего порядка. Материалы и методы исследований: использованы методы построения уравнений в частных производных с применением операторного уравнения Лакса с дифференциальными операторами первого порядка и матричными коэффициентами 3 х 3. Результаты исследования: определены необходимые и достаточные условия, накладываемые на параметры и функции, входящие в матрицы-коэффициенты, при которых коммутатор двух дифференциальных операторов представляет оператор умножения. Показано, что уравнение Лакса сводится к системе девяти уравнений, порядок которой можно понизить и свести к одному нелинейному уравнению в частных производных. Обсуждение и заключения: авторами продемонстрированы два примера вывода нелинейных уравнений и определение их пары Лакса. В первом примере главный дифференциальный коэффициент рассматривается в виде нижнетреугольной матрицы, а во втором случае постоянная матрица имеет диагональный вид. В результате получены уравнения второго порядка с логарифмической нелинейностью.

нелинейные уравнения в частных производных, операторное уравнение Лакса, пара Лакса, условие совместности системы дифференциальных уравнений, nonlinear partial differential equations, Lax operator equation, Lax pair, compatibility condition for a system of differential equations

1. Журавлев В.М. // ЖЭТФ, т. 110. № 6, 1996.с. 910-929.

2. Журавлев В.М. // Письма в ЖЭТФ. 61, в. 4. 254. 1995.

3. Журавлев В.М. Нелинейные волны в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией. Точно решаемые модели // Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2001. 256 с.

4. Захаров В.Е. Солитоны // под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. М.: Мир, 1970. 1983.

5. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. / под ред. С.П. Новикова. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 319 с.

6. Карюк А.И., Редькина Т.В. Квазилинейное волновое уравнение, обладающее парой Лакса // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 14, вып. 4. Москва, 2007. С. 717-718.

7. Лакс П.Д. и Ральф Ф.С. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971. 312 с.