НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, СВЯЗАННОЕ С ОПЕРАТОРОМ ДИРАКА

Рассматривается теория нелинейных интегрируемых уравнений, обладающих солитонными решениями нового типа - опрокидывающимися солитонами. Исследуется операторная конструкция предложенная О.И. Богоявленским, и имеющая аттракторы в фазовом пространстве. Для вывода нового нелинейного уравнения используется операторная структура Li = [L,A] + P(L), расширяющая конструкцию Лакса, с L,A - дифференциальными операторами, P(L) - полином 1-го порядка. В качестве оператора L рассматривается дифференциальный оператор Дирака первого рода. Определяются необходимые и достаточные условия, при которых операторное уравнение является условием совместности трех линейных дифференциальных уравнений: первое - является уравнением на собственные значения оператора L по пространственной переменной и спектральными значениями, параметрически зависящими от времени, второе - описывает динамику собственных функций оператора L по временной переменной, третье - определяет спектральную функцию. Показано, что спектральная функция может иметь орбиту - устойчивое подмногообразие или аттрактор.

аттрактор, нелинейное уравнение в частных производных, оператор Дирака, спектральная функция, операторное уравнение, комплексная функция, полином, attractor, nonlinear partial differential equation, Dirac operator, spectral function, operator equation, complex function, polynomial

1. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны в новых двумерных интегрируемых уравнениях // Изв. АН СССР Сер. матем. 1989. Т. 53, № 2. С. 243-258.

2. Bates P. W., Lu K., Wang B. Attractors for lattice dynamical systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2001. Т. 11. № 1. С. 143-153.

3. Crauel H. Random point attractors versus random set attractors // Journal of the London Mathematical Society. 2001. Т. 63. № 02. С. 413-427.

4. Crauel H., Flandoli F. Attractors for random dynamical systems // Probability Theory and Related Fields. 1994. Т. 100. № 3. С. 365-393.

5. Karachalios N. I., Yannacopoulos A. N. Global existence and compact attractors for the discrete nonlinear Schrodinger equation // Journal of Differential Equations. 2005. Т. 217. №. 1. С. 88-123.

6. Ruelle D. Characteristic exponents for a viscous fluid subjected to time dependent forces //Communications in Mathematical Physics. 1984. Т. 93. № 3. С. 285-300.

7. Zhou S., Shi W. Attractors and dimension of dissipative lattice systems //Journal of Differential Equations. 2006. Т. 224. № 1. С. 172-204.