ПРЕДФРАКТАЛЫ КАК ИСТОЧНИК НОВЫХ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ФРАКТАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Статья посвящена актуальной проблеме ускорения сходимости многочленных и дробно-рациональных приближений функций. В теории приближения функций часто используется идея уменьшения интервала изменения аргумента как метода ускорения сходимости степенных и дробно-рациональных приближений, аппроксимирующих данную функцию. В статье, используя эту идею, сначала для данной функции строится ветвящаяся цепная дробь, ветвями которой являются либо функциональные ряды, либо функциональные цепные дроби. В этом случае ветвящаяся цепная дробь, представляющая собой данную функцию, является фракталом и одновременно сжимает интервал изменения аргумента в 2* (к = 1, 2, ...) раз, где 2* - число ветвей ветвящейся цепной дроби. То есть вычисление данной функции в точке x сводится к вычислениям в точке x/2^k, что естественно и влечет ускорение сходимости степенных и дробно-рациональных приближений. Для построения новых дробно-рациональных приближений ветвящаяся цепная дробь (фрактал) заменяется предфракталом - ветвящейся цепной дробью с конечным числом звеньев. Здесь каждое звено заменяется многочленом либо конечной цепной дробью. В результате можно получить сколь угодно много рациональных приближений.

аппроксимация, функциональные ряды, цепные дроби, фракталы, сходимость, approximation, functional series, continued fractions, fractals, convergence

1. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М.: ГИТТЛ, 1956. 204 с.

2. Джоунс В. Трон. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения / пер. с англ. М.: Мир, 1985. 414 с.

3. Люстерник Л.А., Червоненкис О.А., Янпольсекий А.Р. Математический анализ. Вычисление элементарных функций. СМБ. М.: Физматгиз, 1963. 248 с.

4. Корнеев П.К., Гончарова Е.Н., Журавлёва И.А., Непретимова Е.В. Ускорение сходимости степенных и дробно-рациональных разложений, аппроксимирующих тригонометрические и гиперболические функции // Вестник Ставропольского государственного университета. Вып. 63[4], 2009. С. 27-44.

5. Корнеев П.К., Журавлёва И.А., Непретимова Е.В. О разложении функции sin x в ветвящиеся цепные дроби// Вестник Ставропольского государственного университета. Выпуск 70[5], 2010. С. 11-15.

6. Корнеев П.К., Журавлёва И.А., Непретимова Е.В. Разложение функции exp(x) в ветвящиеся цепные дроби // Вестник Ставропольского государственного университета. 2011 г. №4. С. 14-20.

7. Корнеев П.К., Журавлева И.А., Кравцов А.М., Непретимова Е.В., Гладков А.В., Фрактальное представление тригонометрических и гиперболических функций как метод получения их новых дробно-рациональных приближений // Нейрокомпьютеры: разработка и применение. № 9, изд-во «Радиотехника». М.: 2014 г С. 98-102.

8. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах // Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.