ОПЕРАТОРЫ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА В ЗАДАЧАХ ПРИКЛАДНОГО АНАЛИЗА

Рассматриваются эмпирические функции, заданные приближенно, например, на основе некоторых измерений наблюдаемого процесса или явления, полученных в эксперименте. Подобные функции часто встречаются в задачах математической физики и соответствующих численных моделях, использующих эти данные. При этом актуальной является задача восстановления или конструирования исходной функции по приближенным данным, которая решается в рамках конструктивной теории функций и теории приближения функций. В работе реализуется подход, согласно которому исследуемые функции представляются так называемыми сингулярными интегралами. В ряде прикладных задач искомым функциям в качестве исходного предположения предписывается необходимость представления в виде интеграла Стилтьеса. Подобные ситуации могут иметь место в теории потенциалов и тех задачах теоретической физики, которые используют интегральные операторы потенциального типа. Подобный подход заметно расширяет содержательную сторону аппарата приближения функций, придавая ему большую эффективность и наглядность в тех задачах, когда приходится «конструировать» модель исследуемой функциональной зависимости по приближенным данным. При этом, те вычислительные схемы, которые связаны с практической реализацией излагаемого метода в приложениях, в ряде случаев могут быть заметно проще и эффективнее тех алгоритмов, которые требуются для реализации интегральных представлений функций на основе сингулярных интегралов. В настоящей работе исследуемая функция представляется в виде интеграла Римана-Стилтьеса, на основе этого представления формулируется соответствующая оптимизационная задача и определяется ее решение. Рассматриваются примеры интегралов представления исследуемой функции и соответствующие схемы вычислений. Исследуются свойства получаемых приближенных решений и их связь со свойствами исходных функций. Излагается техника обобщенного дифференцирования интегралов представления функций, рассматриваются вопросы регуляризации сходимости интегральных операторов обобщенного дифференцирования. Приводится пример конструирования интегралов Стилтьеса на основе заданного множества параметризованных функций, формулируются и доказываются две леммы, определяющих выбор параметров соответствующей вычислительной модели.

мпирическая функция, теория приближения функций, интеграл Римана - Стилтьеса, задачи прикладного анализа, сингулярные интегралы, операторы обобщенного дифференцирования, empirical function, theory of approximation of functions, the integral Riemann - Stieltjes, problems of applied analysis, singular integrals, operators of generalized differentiation

1. Наац И.Э. Методы приближения суммируемых функций на основе интеграла Стилтьеса применительно к задачам прикладного анализа / И.Э. Наац, Е.П. Ярцева // Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2016. № 1. С. 33-46.

2. Наац В.И. Метод численного обращения интегрального уравнения с оператором в форме интеграла Лебега-Стилтьеса / В.И. Наац, Е.П. Ярцева // Наука сегодня: постулаты прошлого и современные теории как механизм эффективного развития в условиях кризиса: сборник научных статей по итогам Международной научно-практической конференции (25-26 марта). Санкт-Петербург, 2016. С. 86-91.

3. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа / К. Ланцош. М.: Физматлит, 1961. 524 с.

4. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране / Д. Мак-Кракен, У. Дорн. М.: Мир, 1977. 584 с.

5. Наац И.Э. Вычислительная модель для дифференциального уравнения с эмпирическими функциями на основе интегрального уравнения Фредгольма первого рода / И.Э. Наац, В.И. Наац, Р.А. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. 2016. № 2. С. 37-48.

6. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М., 1979. 288 с.

7. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натон-сон. М.: Физматлит, 1949. 526 с.

8. Данфорд Н. Линейные операторы: общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 427 с.

9. Наац И.Э. Построение обобщенных производных для суммируемых функций на основе их сингулярных интегралов и исследование регуляризации их сходимости / И.Э. Наац, В.И. Наац, Е.П. Ярцева // Естественные и технические науки в современном мире: сборник научных статей по итогам XII Международной научно-практической конференции (г. Москва, 10 февраля 2017г.). М.: Научный журнал «CHRONOS», 2017. С. 54-62.

10. Наац И.Э. Математические модели и численные методы в задачах экологического мониторинга атмосферы / И.Э. Наац, В.И. Наац. М.: Физматлит, 2010. 327 с.