МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПРИБЛИЖЕННО ЗАДАННЫМИ ФУНКЦИЯМИ НА ОСНОВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

В работе излагается метод построения приближенного решения дифференциального уравнения с исходными данными, полученными в эксперименте (эмпирическими функциями), известными с некоторыми погрешностями. В подобной постановке задача относится к классу некорректных математических задач и часто встречается, например, в математических моделях физических явлений, использующих результаты измерений натурных экспериментов. Этим обусловлена актуальность проводимых исследований. Для получения приближенного решения этой задачи требуется построение соответствующих регуляризирующих алгоритмов на основе методов теории функционального анализа и некорректных задач. В настоящей работе выполняется построение приближенного решения ОДУ с заданными краевыми условиями, представленного так называемыми сингулярными интегралами. Это позволяет поставить в соответствие исходному уравнению интегральное уравнение Фредгольма первого рода и найти его численное решение. При этом используется аппарат приближения функций и их производных соответствующими сингулярными интегралами, а также метод регуляризации сходимости последовательности приближенных решений, который реализуется так называемыми обобщенными обратными операторами. Построенная в итоге вычислительная модель позволяет получать устойчивые решения некорректной задачи.

интегральное уравнение, некорректная задача, метод регуляризации, обобщенный обратный оператор, вычислительная модель, integral equation, ill-posed problem, regularization method, generalized inverse of an operator, a computational model

1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979. 288 с.

2. Рыскаленко Р. А., Чемеригина М. С. Операторы обобщенного дифференцирования в численных методах решения нелинейного уравнения переноса с приближенными данными // Вестник Северо-Кавказского федерального университета. 2013. № 1 (34). С. 35-38.

3. Рыскаленко Р. А., Черкасова И. В. Интегральные представления функций в численных методах решения нестационарных задач переноса // Вестник Северо-Кавказского федерального университета (СКФУ). 2013. № 1.

4. Наац В. И., Наац И. Э., Рыскаленко Р. А. Расчетно-аналитические модели для дифференциальных уравнений с приближенными данными на основе представления решения интегралами // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. 2014. № 4. С. 60-71.

5. Наац В. И., Наац И. Э. Математические модели и численные методы в задачах экологического мониторинга атмосферы: монография. М.: Физматлит, 2010. 328 с.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: общая теория. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 427 с.

7. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.: Физматлит, 1949. 526 с.

8. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматлит, 1961. 524 с.

9. Сухарев А. Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. М., 1989. 354 с.

10. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 1994. 296 с.

11. Семенчин Е. А., Наац В. И., Наац И. Э. Математическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы: монография. М.: Физматлит, 2003. 291 с.