Метод численного решения краевой задачи для уравнения в частных производных с эмпирическими функциями на основе интегрального уравнения фредгольма первого рода

В работе излагается метод построения приближенного решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных с исходными данными, полученными в эксперименте (эмпирическими функциями). В подобной постановке задача относится к классу некорректных математических задач и часто встречается, например, в математических моделях физических явлений, использующих результаты измерений натурных экспериментов. Для получения приближенного решения такой задачи требуется построение соответствующих регуляризирующих алгоритмов. В данной статье разрабатывается и обосновывается метод интегральных представлений исследуемых функций их сингулярными интегралами, который излагается на примере решения краевой задачи для уравнения в частных производных, в частности, для уравнения Пуассона. Это позволяет построить и поставить в соответствие исходному дифференциальному уравнению в частных производных эквивалентное ему интегральное уравнение Фредгольма первого рода и найти его численное решение, то есть решение некорректной задачи. При этом используется аппарат приближения функций и их производных соответствующими сингулярными интегралами, а также метод регуляризации сходимости последовательности приближенных решений, который реализуется так называемыми обобщенными обратными операторами. Построенная в итоге вычислительная модель позволяет получать устойчивые решения некорректной задачи.

операторное уравнение, сингулярный интеграл, метод регуляризации, обобщенный обратный оператор, численные методы, вычислительный алгоритм, operator equation, singular integral regularization method, generalized inverse of an operator, numerical methods, computational algorithm

1. Наац, В.И. Расчетно-аналитические модели для дифференциальных уравнений с приближенными данными на основе представления решения интегралами / В.И. Наац, И.Э. Наац, Р.А. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2014. № 4. С. 60-71.

2. Наац, В.И. Расчетно-аналитические модели для уравнений параболического типа с приближенными данными на основе методов прикладного гармонического анализа и вариационного метода взвешенной невязки / В.И. Наац, И.Э. Наац, Р.А. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2015. № 3. С. 51-62

3. Наац, В.И. Метод решения некорректной задачи для дифференциального уравнения с приближенно заданными функциями на основе представления решения интегральными уравнениями / В.И. Наац, И.Э. Наац, Р.А. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2015. № 4. С. 23-40.

4. Наац, В.И. Вычислительная модель для дифференциального уравнения с эмпирическими функциями на основе интегрального уравнения Фредгольма первого рода / В.И. Наац, И.Э. Наац, Р.А. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2016. №2. С. 37-48.

5. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Физматлит. 1979. 288 с.

6. Данфорд Н. Линейные операторы: общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 427 с.

7. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматлит, 1961. 524 с.

8. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций. М.: Физматлит, 1994. 526 с.

9. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 1994. 296 с.